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數學的印象

小平邦彥

 
 

什麼是數學?不太清楚。但我以為關心數學的某些人會有這樣的感覺,認為數學實際不就是這麼回事嗎?本文要敘述一個數學家看到數學的印象,即像我這樣對數學專業以外的事情就不太懂的單純的數學家,在研究數學時,感到數學是什麼呢?我是直率而不加修飾的談這一問題以提供讀者參考。

一般認為數學是按嚴密的邏輯構成的科學,即使與邏輯不盡相同,卻也大致一樣。但是實際上,數學與邏輯沒有什麼關係。數學當然應該遵循邏輯,但邏輯在數學中的作用就像文法在文學中的作用那樣。書寫合乎文法的文章與照著文法去寫小說完全是兩碼事;同樣,進行正確的邏輯推理與堆砌邏輯去構成數學理論是性質完全不同的性質。

通常的邏輯誰都明白,要是數學能歸結到邏輯,那麼誰都應該懂得數學了。但是初中高中很多學生理解不了數學卻是眾所周知的事實。精通語言學但數學成績不好的學生不在少數。所以我認為數學在本質上與邏輯不同。


數學

考慮除數學外的自然科學,例如物理學可以說是研究自然現象中物理現象的科學。在同樣的意義上,數學就是研究自然現象中數學現象的科學。因此,理解數學就要「觀察」數學現象。這裡說的「觀察」不是用眼睛去看,而是根據某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳,但顯然是不同於邏輯推理能力之類的純粹感覺,我認為更接近於視覺。也可稱之為直覺,為了強調是純粹感覺,以下稱此感覺為「數覺」。直覺包含著「一瞬領悟真諦」的含義,不太貼切。數學的敏銳,如同聽覺的敏銳一樣,與頭腦好壞沒有關係(指本質上沒有關係的意思,而不是統計上沒有相關關係)。但是要理解數學,不靠數學便一事無成。沒有數覺的人不懂數學就像五音不全的人不懂音樂一樣(這只要擔當數學不行的孩子的家庭教師就馬上明白。你眼前看到的事情孩子卻怎麼也看不見,說明起來很吃力)。數學家自己並不覺得如在證明定理時主要是具備了數覺,所以就認為是邏輯上作了嚴密的證明,實際並非如此,如果把證明全部用形式邏輯記號寫下看看就明白了。那就過份冗長,實際上不可能(當然不是說證明在邏輯上不嚴密。而是依照數覺,那些明顯的事實就略去邏輯推理而已)。最近每每談及數學的 sense(感受),而作為數學 sense 基礎的感覺,可以說就是數覺。數學家因為都有敏銳的數覺,自己反倒不覺得了。

 
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編輯:楊佳芳 / 校對:楊佳芳 最後修改日期:2/27/2002